Preuve par le calcul de l'existence d'une unique distribution invariante dans le cas d'une chaîne de Markov à 2 états qui évolue

Preuve

On donne une chaîne de Markov à deux états par sa matrice de transition   \(T=\begin {pmatrix} p&1-p\\q&1-q\end{pmatrix}\) .

Pour chercher une distribution invariante, on résout \(X=XT\)  avec  \(X=\begin{pmatrix} a & 1-a \end{pmatrix}\)  puisque  \(X\)  est une distribution de probabilités.
\(XT=\begin {pmatrix} a&1-a\end{pmatrix}\begin {pmatrix} p&1-p\\q&1-q\end{pmatrix}=\begin {pmatrix} ap+(1-a)q&a(1-p)+(1-a)(1-q)\end{pmatrix}\)
D'où  \(XT=X \Leftrightarrow\)   \(\begin{cases}ap+(1-a)q=a\\a(1-p)+(1-a)(1-q)=1-a\end{cases}\) \((L1)\\(L2)\)

En développant les deux lignes  \((L1)\)  et  \((L2)\) , on trouve la même équation :
\(a(1+q-p)=q\)
Or  \(1+q-p=0\Leftrightarrow p-q=1\)
Or on a nécessairement  \(0≤p≤1\)  et  \(0≤q≤1\) , donc  \(p-q=1\Leftrightarrow \begin{cases}p=1\\q=0\end{cases}\) , ce qui correspond à  \(T=I_2\) , cas trivial où le système n'évolue pas.

Dans tous les autres cas,  \(a=\dfrac{1}{1+q-p}\)  et il y a donc une unique distribution invariante qui est 

\(X_0=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{1+q-p}&\dfrac{q-p}{1+q-p}\end{pmatrix}\) .