Preuve par le calcul de l'existence d'une unique distribution invariante dans le cas d'une chaîne de Markov à 2 états qui évolue

Preuve

On donne une chaîne de Markov à deux états par sa matrice de transition   $T=\left(\begin{array}{cc}p& 1-p\\ q& 1-q\end{array}\right)$ .

Pour chercher une distribution invariante, on résout $X=XT$  avec  $X=\left(\begin{array}{cc}a& 1-a\end{array}\right)$  puisque  $X$  est une distribution de probabilités.
$XT=\left(\begin{array}{cc}a& 1-a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}p& 1-p\\ q& 1-q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ap+(1-a)q& a(1-p)+(1-a)(1-q)\end{array}\right)$
D'où  $XT=X\iff$   $\{\begin{array}{l}ap+(1-a)q=a\\ a(1-p)+(1-a)(1-q)=1-a\end{array}$ $$\begin{gathered} (L1) \\ (L2) \end{gathered}$$

En développant les deux lignes  $(L1)$  et  $(L2)$ , on trouve la même équation :
$a(1+q-p)=q$
Or  $1+q-p=0\iff p-q=1$
Or on a nécessairement  $0\le p\le 1$  et  $0\le q\le 1$ , donc  $p-q=1\iff \{\begin{array}{l}p=1\\ q=0\end{array}$ , ce qui correspond à  $T=I_2$ , cas trivial où le système n'évolue pas.

Dans tous les autres cas,  $a={\displaystyle \frac{1}{1+q-p}}$  et il y a donc une unique distribution invariante qui est 

$X_0=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{1+q-p}}& {\displaystyle \frac{q-p}{1+q-p}}\end{array}\right)$ .